9.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной D х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы.

До прохождения частицы через щель р_х имеет точное значение, равное 0, так что неопределенность импульса D р_х=0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождениячастицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность D х, но это достигается ценой утраты определенности значения р_х. Действительно, вследствии дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2j , где j - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

Dр_х=рsinj . (8)

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной Dх соответствует угол j , для которого [ cм. (4.8) при b=Dх и m=1]

sinj=l/ Dх. (9)

Cледовательно

Dр_х=рl/ Dх. (10)

Отсюда с учетом (1) получается соотношение

DхDр_х =рl=h (11)

В общем случае соотношение

DхDр_х h,DyDр_y h, DzDр_z h (12)

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (Dх мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы Dр_х h/Dх. Точность определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели Dх [ cм. (9), (8)] и при Dх®¥ не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса Dр_х будет такой же, как и до прохождения частицы через щель, т.е. Dр_х=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е. Dх®¥.

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим (11) в виде

DхDv_х h/m. (13)

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10^-12 кг и линейными размерами 10^-6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. Dх=10^-8 м) неопределенность скорости согласно (13) Dv_х=6.62×10^-31/(10^-8×10^-12)=6.62×10^-14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т. о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

DЕDth (14)

Из (14) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

Dv DЕ/h (15)

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой v±Dv. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.