9.4.Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

(20)

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, D - оператор Лапласа [ см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z) exp[-i(E/)t] (21)

где E/=w.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

(22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции Y, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определимy и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Cледовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

. (23)

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция y(х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

Е= .(24)

C учетом (21) волновая функция

Y(х)=Аexp(-iwt+ ikx)= Аexp[-(i/)(Еt- р_xх)]. (25)

здесь w=Е/, k=р_x/

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е=²k²/(2m)=Р_х²/(2m)=mv²/2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

|y| ²=yy^*=A²,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.