9.6. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме"

Такая "яма" описывается потенциальной энергией вида

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. y(0)= y(l)=0. (27)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению

или(28)

где k²=. Общее решение (28)

y(х)=Аsinkx+Bcoskx (29)

Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда

y(х)=Аsinkx .(30)

Условие (27) y(l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=pn, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k=pn/l. (31)

Из (29) и (31) следует, что

(32)

Таким образом, энергия в "потенциальной яме" принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.