Найдем связь между векторами и . Для этого мысленно выделим в окрестности некоторой точки проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам и , (см. рис. 4 ).

Между концами проводника длиной dl напряжение U = Edl, под действием которого через его поперечное сечение площадью dS течет ток I = jdS. Сопротивление цилиндрического проводника, в нашем случае, равно R = .Используя закон Ома для участка цепи I = , находим: jdS = , откуда и получаем закон Ома в дифференциальной форме = = , (16)

где = удельная электропроводность; [] = 1 / (Ом м) = 1 См / м, где 1 См = 1 / Ом - это единица измерения электропроводности в СИ, называемая сименс (См). Для металлов согласно классической теории электропроводности = , (17)

где n - концентрация свободных электронов, она может достигать 1010 электрон / м; e-заряд электрона, m - его масса; < > - средняя длина свободного пробега электрона; < v > = (18)

< v > - средняя скорость теплового движения электрона, k = 1,38 ×10 Дж/К - постоянная Больцмана.

С учетом (18) из (17) следует, что ~ , а , тогда как опыт показывает, что ~ Т . Этот и другие недостатки классической теории электропроводности металлов устранила квантовая теория электропроводности.