Теорема Гаусса - Остроградского для потока вектора в вакууме имела вид:

, или

где Q - суммарный заряд, охватываемый замкнутой поверхностью S. В диэлектрике Q складывается из свободных (сторонних) зарядов и связанных зарядов, т.е.

(5)

Можно показать, что .

Подставляя эту формулу в (5), после преобразования получим

(6)

Величину (7)

называют вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Она измеряется, как и , в Кл/м². Учитывая, что находим

. (8)

Линии вектора могут начинаться или заканчиваться лишь на свободных зарядах, а линии - на свободных и связанных. С учетом (7) формула (6) запишется так

, (9)

т.е. поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Это и есть теорема Гаусса - Остроградского в интегральной форме для поля в диэлектрике, которая в дифференциальной форме выглядит так:

= dq/dV, Кл / м (10)

ρ - объемная плотность свободных зарядов.