В механике твердое тело обычно рассматривают как механическую систему, масса т которой непрерывно распределена по объему V тела, так что при вычислении момента инерции тела, суммирование в формуле (8), переходит в интегрирование

, (10)

где - плотность тела, - масса малого элемента объема dV, отстоящего от оси вращения тела на расстоянии .

Пример:

Мысленно разделим цилиндр высоты h и радиуса R на концентрические слои толщиной dr. Если плотность материала цилиндра , то масса dm , заключенная в слое dr; будет равна: ; так как , то .

Используя формулу (10), находим момент инерции однородного цилиндра:

,

где - масса цилиндра.

Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера:

, (11)

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной оси Z; d - расстояние между осями.

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью , некоторой точки 0 в нем и вращения вокруг оси, проходящей через эту же точку и перпендикулярной с угловой скоростью .

В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой

.

Кинетическая энергия i- той материальной точки равна

или

.

Просуммировав по всем материальным точкам, получим

или , (12)

где М - полная масса тела, - радиус-вектор центра масс, - момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку О.

Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то и формула (12) упрощается: . (13)

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со

скоростью центра масс V_c и вращательное с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только скоростью центра масс V_c, а другое - угловой скоростью w.

Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия . (14)