Назад
Содержание
Вперед
Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы)
, (22)
где - круговая частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:
m(d2x/dt2) = -kx - r(dx/dt) + Fmcos
t.
Перепишем это уравнение в виде:
. (23)
Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет
, где
- общее решение однородного уравнения (23), (т. е.
уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)
и с течением времени . Поэтому
.
Из решения (23) следует, что (24)
где , (25)
. (26)
Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда
вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний
зависит от частоты вынуждающей силы.
Исследуя (25) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте
(27)
амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины:
. (28)
Это явление называется резонансом.
На рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы , которая определяется формулой
(25); (откуда: при = 0 находим
, а при
имеем
, что объясняется инерционностью колебательной
системы).
Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей
силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин,
кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих
внешних воздействий.
Назад
Содержание
Вперед
|