Установим изменение потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы. Известно, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна , где k - коэффициент упругости, х - смещение; откуда для потенциальной энергии колебаний находим

. (7)

Кинетическая энергия , что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет

. (8)

Анализ (7) и (8) показывает, что когда одна из энергий или увеличивается, то другая уменьшается. Полная же энергия

E=W_n+W_k=kA²/2 (9)

остается величиной постоянной и для пружинного маятника, (см. рис. 1), она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины. Итак, мы рассмотрели свободные или собственные колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она была выведена из положения равновесия.

Но в реальных условиях всегда на механические системы действуют силы трения из-за чего свободные колебания переходят в затухающие, которые будут рассмотрены в параграфе 8.

Гармоническое колебание

можно представить в виде проекции вектора , вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной круговой частоте . Из рис. 3 следует, что проекция вектора на направление ОХ будет .

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

, где .

Поэтому уравнение гармонического колебания (3) можно записать в экспоненциальной форме:

.

Вещественная часть представляет собой смещение х при гармоническом колебании .

Обычно обозначение опускают и пишут так

.