Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо использовать векторный анализ - математический аппарат. Мы должны знать, что такое градиент, ротор, дивиргенция. Начнем же с понятия " поток вектора " .

Пусть имеем однородное электрическое поле (напряженность которого одинакова во всех точках пространства) с напряженностью , которое пронизывает некоторую плоскую поверхность площади S, тогда скаляр-

ное произведение будет называться потоком вектора напряженности через поверхность S, (см. рис. 1), т.е. , (1)

где - есть вектор, равный произведению величины площади на нормаль к этой поверхности, Е_n -проекция вектора на нормаль, к площадке.

В общем случае поле может быть неоднородным, поверхность неплоской. В этом случае поверхность можно мысленно разбить на бесконечно малые элементарные площадки dS, которые можно считать плоскими, а поле вблизи них однородным. В таком случае поток через элементарную площадку . (2)

Полный поток вектора напряженности через поверхность S

. (3)

Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r.

Площадь ее поверхности. Силовые линии электрического поля, (см. рис. 2), идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами и равен нулю.

. (4)

Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней.

Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.3): .